Đặt 4p + 1 = y2 ( y thuộc Z)
=> 4p = y2 -1
=> 4p = ( y - 1 ) x ( y + 1 )
Vì y - 1 + y + 1 = 2y chẵn => y -1 à y + 1 có cùng tính chẵn lẻ. Mà 4p chẵn => y - 1 và y + 1 là 2 số chẵn liên tiếp
=> ( y - 1 ) x ( y + 1 ) chia hết cho 8 ( vì 2 số tự nhiên liên tiế luôn luôn chia hết cho 8 )
=> 4p chia hết cho 8 => p = 2. Vì p là số nguyên tố.
Vậy p = 2
Giả sử 4P +1 là số chính phương
⇒4P+1=n2(n∈N)
4P+1=n2−12
4P=(n−1)(n+1)
⇒n−1 và n+1 cùng là số chẵn
⇒n−1 và n+1 ∈ Ư(4P) ={1;−1;2;−2;4;−4;P;−P;2P;−2P;4P;−4P}
Ta có bảng :
| n-1 | n+1 | n | 4P = (n-1)(n+1) | P | đ/k P là số nguyên tố |
| 2P | 2 | 1 | 0 | 0 | loại |
| P | 4 | 3 | 8 | 2 | thỏa mãn |
| 2 | 2P | 3 | 4 | 2 | thỏa mãn |
| 1 | 4P | 2 | 3 | 34 | loại |
Vậy P = 2 là giá trị cần tìm
