a, Ta có : \(\frac{2n-1}{n-2}=\frac{2n-4+3}{n-2}=2+\frac{3}{n-2}\)
=> Để \(\frac{2n-1}{n-2}\in Z\)<=> \(2+\frac{3}{n-2}\in Z\)<=> \(\frac{3}{n-2}\in Z\)
<=> \(3⋮n-2\)<=> \(n-2\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
\(\left(+\right)n-2=1< =>n=3\) (thỏa mãn)
\(\left(+\right)n-2=-1< =>n=1\) ( thỏa mãn)
\(\left(+\right)n-2=3< =>n=5\) (thỏa mãn)
\(\left(+\right)n-2=-3< =>n=-1\) (thỏa mãn)
Vậy \(n\in\left\{3;1;5;-1\right\}\)thì \(\frac{2n-1}{n-2}\in Z\)
b. Để \(\frac{5n+1}{2n-1}\in Z< =>\frac{10n+5}{2n-1}\in Z\)
\(=\frac{10n-5+10}{2n-1}=5+\frac{10}{2n-1}\)
\(=>\frac{10n+1}{2n-1}\in Z< =>5+\frac{10}{2n-1}\in Z< =>\frac{10}{2n-1}\in Z\)
\(< =>10⋮2n-1< =>2n-1\inƯ\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)
\(\left(+\right)2n-1=1< =>2n=2< =>n=1\)(thỏa mãn)
\(\left(+\right)2n-1=-1< =>2n=0< =>n=0\)(thỏa mãn)
\(\left(+\right)2n-1=2< =>2n=3< =>n=1,5\)(không thỏa mãn )
\(\left(+\right)2n-1=-2< =>n=-1< =>n=-\frac{1}{2}\)(không thỏa mãn)__
\(\left(+\right)2n-1=5< =>2n=6< =>n=3\)(thỏa mãn)
\(\left(+\right)2n-1=-5< =>2n=-4< =>n=-2\) (thỏa mãn)
\(\left(+\right)2n-1=10< =>2n=9< =>2n=4,5\)(không thỏa mãn)
\(\left(+\right)2n-1=-10< =>2n=-11< =>n=-5,5\)( không thỏa mãn )
Vậy \(n\in\left\{3;-2;0;1\right\}\)thì \(\frac{5n+1}{2n-1}\in Z\)
\(\frac{2n-1}{n-2}\)\(=\frac{2n-2+3}{n-2}\)\(=\frac{2\left(n-2\right)}{n-2}+\frac{3}{n-2}=2+\frac{3}{n-2}\)
để ps trên có giá trị nguyên thì\(\frac{3}{n-2}\)có giá trị nguyên
\(\Rightarrow n-2=1\)
\(\Rightarrow n=3\)
phần còn lại làm tương tự
\(\frac{2n-1}{n-2}\)là số nguyên
\(\Rightarrow\frac{2n-1}{n-2}>0\)hoặc\(\frac{2n-1}{n-2}< 0\)hoặc \(\frac{2n-1}{n-2}=0\)
với\(\frac{2n-1}{n-2}>0\)
thì 2n-1 và n-2 cùng dấu
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2n-1>0\\n-2>0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n>\frac{1}{2}\\n< 2\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{2}< n< 2}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2n-1< 0\\n-2< 0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n< \frac{1}{2}\\n>2\end{cases}\Leftrightarrow2< n< \frac{1}{2}\left(l\right)}}\)
với \(\frac{2n-1}{n-2}< 0\)
thì 2n-1 và n-2 khác dấu
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2n-1>0\\n-2< 0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n>\frac{1}{2}\\n< 2\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{2}< n< 2}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2n-1< 0\\n-2>0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n< \frac{1}{2}\\n>2\end{cases}\Leftrightarrow2< n< \frac{1}{2}\left(l\right)}}\)
với \(\frac{2n-1}{n-2}=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2n-1=0\\n-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=\frac{1}{2}\\n=2\end{cases}}}\)
cộng cả ba trường hợp ta có \(\frac{1}{2}< n< 2\)
vậy với\(\frac{1}{2}< n< 2\)thì \(\frac{2n-1}{n-2}\)là số nguyên
\(\frac{2n-1}{n-2}\)thuoc Z
\(\Leftrightarrow\)2n4-5\(⋮\)n-2
\(\Leftrightarrow\)2.(n-2)-5\(⋮\)n-2
\(\Leftrightarrow\)5\(⋮\)n-2
\(\Leftrightarrow\)n-2 thuộc Ư(5)
\(\Leftrightarrow\)n-2 thuộc(-1,1,-5,5)
\(\Leftrightarrow\)n thuộc(1,3,-3,7)
