Ta có:
\(k^4-8k^3+23k^2-26k+10=\left(k-1\right)^2\left(k^2-6k+10\right)\)
Dễ thấy: \(\left(k-1\right)^2\) là số chính phương nên để \(k^4-8k^3+23k^2-26k+10\) là SCP thì \(k^2-6k+10\) phải là SCP
Đặt \(k^2-6k+10=n^2\) thì \(\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)
Mà k nguyên suy ra \(k=3\)
Đặt \(M=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)
Ta có \(M=\left(k^4-2k^2+1\right)-8k\left(k^2-2k+1\right)+9k^2-18k+1\)
\(=\left(k^2-1\right)^2-8k\left(k-1\right)^2+9\left(k-1\right)^2=\left(k-1\right)^2\left[\left(k-3\right)^2+1\right]\)
M là số chính phương \(\Leftrightarrow\left(k-1\right)^2=0\)hoặc (k-3)2+1 là số chính phương
TH1: (k-1)2=0 <=> k=1
TH2: (k-3)2+1 là số chính phương, đặt (k-3)2+1=m2(m\(\in\)Z)
<=> m2-(k-3)2=1
<=> (m-k+3)(m+k-3)=1
Vì m,k \(\in\)Z nên \(\hept{\begin{cases}m-k+3=1\\m+k-3=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}m-k+3=-1\\m+k-3=-1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1;k=3\\m=-1;k=3\end{cases}\Rightarrow}k=3}\)
Vậy k=3 thì k4-8k3+23k2-26k+10 là số chính phương
k4-8k3+23k2-26k+10 két pủa là:10+26k-23k2+8k3-k4
