Question

Tìm số nguyên dương n sao cho\(\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)\) là một số chính phương

Answer 1

Ta thấy: \(4n^2+14n+7=\left(n+3\right)\left(4n+2\right)+1\)

Do n là số nguyên dương \(\Rightarrow4n^2+14n+7\)và n+3 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)\)là 1 SCP thì n+3 và \(4n^2+14n+7\)là 1 số chính phương

Do n nguyên dương \(\Rightarrow\left(2n+3\right)^2\le4n^2+14n+7< \left(2n+4\right)^2\)\(\Rightarrow4n^2+14n+7=\left(2n+3\right)^2\Leftrightarrow n=1\)khi đó n+3=4 là 1 scp 

Thử lại với n=1 \(\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)=100\left(tm\right)\)

Vậy n=1