Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Phúc Lộc

Tìm số nguyên dương a sao cho \(a^{2017}+a^{2018}+1\)là số nguyên tố

Chu Văn Long
4 tháng 10 2016 lúc 23:56

Đặt A = a2018+a2017+1

Do a là số nguyên dương nên ta xét các TH

Nếu a=1 thì A=a2018+a2017+1=3(là SNT) chọn

Nếu a>1 ta có

\(A=\left(a^{2018}-a^2\right)+\left(a^{2017}-a\right)+\left(a^2+a+1\right)\)

\(A=\left(a^{2016}-1\right)\left(a^2+a\right)+\left(a^2+a+1\right)\)(1)

Ta thấy: \(a^{2016}-1=\left(a^3\right)^{672}-1\)luôn chia hết cho a3-1( áp dụng tính chất an-bn chia hết cho a-b với a khác b)

Mà a>1 => a3-1 #0 và a3-1=(a-1)(a2+a+1)

Vì vậy a2016-1 chia hết cho a2+a+1(2)

Từ (1) và (2) => A chia hết cho (a2+a+1)

Mà a>1 => \(\hept{\begin{cases}A>a^2+a+1\\a^2+a+1#1\end{cases}}\)

=> A là hợp số

Vậy a=1 thì A là số nguyên tố

Nguyễn Phúc Lộc
5 tháng 10 2016 lúc 21:11

Cảm ơn