Vì x là số hữu tỉ nên đặt x=a/b (a,b nguyên ; (a,b)=1 (p/s tối giản í))
Ta có : a/b + b/a =(a^2+b^2)/ab
Để a/b+b/a nguyên thì (a^2+b^2) chia hết cho ab
Vì b^2 chia hết cho b r => a^2 phải chia hết cho b mà (a,b)=1 =>a chia hết cho b
TTự : b chia hết cho a
Do đó a=b hoặc a=-b
Hay: x=1 hoặc x=-1
đặt x = \(\frac{a}{b}\)trong đó a,b \(\in\)Z ; a,b \(\ne\)0 ; ( |a| ; |b| ) = 1.
Ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\in Z\Rightarrow a^2+b^2\text{ }⋮\text{ }ab\)
Từ ( 1 ) suy ra \(b^2\text{ }⋮\text{ }a\)mà ( |a| ; |b| ) = 1 nên \(b\text{ }⋮\text{ }a\). Cũng do ( |a| ; |b| ) = 1 nên a = -1 hoặc a = 1
Cũng chứng minh tương tự như trên, ta được b = 1 hoặc b = 01
Do đó : x = 1 hoặc x = -1
Uchiha Sasuke
Gọi số hữu tỉ là x
Ta có: x+1/x = (x2+1)/x
Để x+1/x là số nguyên thì (x2+1)/x là số nguyên
<=> x2 +1 chia hết cho x
Mà x2chia hết cho x
<=> 1 chia hết cho x
<=> x là ước của 1
<=> x thuộc {1;-1}
Vậy x=1 hoặc x=-1
Vì x là số hữu tỉ nên đặt x=a/b (a,b nguyên ; (a,b)=1 (p/s tối giản í))
Ta có : a/b + b/a =(a^2+b^2)/ab
Để a/b+b/a nguyên thì (a^2+b^2) chia hết cho ab
Vì b^2 chia hết cho b r => a^2 phải chia hết cho b mà (a,b)=1 =>a chia hết cho b
TTự : b chia hết cho a
Do đó a=b hoặc a=-b
Hay: x=1 hoặc x=-1
hữu tỉ là x
Ta có: x+1/x = (x^2+1)/x
Để x+1/x là số nguyên thì (x^2+1)/x là số nguyên
<=> x^2 +1 chia hết cho x
Mà x^2 chia hết cho x
<=> 1 chia hết cho x
<=> x là ước của 1
<=> x thuộc {1;-1}
Vậy x=1 hoặc x=-1
học tốt
x+1x=kx plus 1 over x end-fraction equals k𝑥+1𝑥=𝑘, trong đó kk𝑘 là một số nguyên.Biến đổi phương trình: Nhân cả hai vế của phương trình với xx𝑥 (với x≠0x is not equal to 0𝑥≠0) để loại bỏ mẫu số:
x2+1=kxx squared plus 1 equals k x𝑥2+1=𝑘𝑥.Sắp xếp lại: Đưa các hạng tử về một vế để có phương trình bậc hai:
x2−kx+1=0x squared minus k x plus 1 equals 0𝑥2−𝑘𝑥+1=0.Tìm nghiệm: Để phương trình này có nghiệm hữu tỉ, delta ( Δcap deltaΔ) phải là một số chính phương.Tính delta: Δ=(−k)2−4(1)(1)=k2−4cap delta equals open paren negative k close paren squared minus 4 open paren 1 close paren open paren 1 close paren equals k squared minus 4Δ=(−𝑘)2−4(1)(1)=𝑘2−4.Điều kiện để có nghiệm hữu tỉ là Δ=m2cap delta equals m squaredΔ=𝑚2, với mm𝑚 là một số nguyên. k2−4=m2k squared minus 4 equals m squared𝑘2−4=𝑚2 k2−m2=4k squared minus m squared equals 4𝑘2−𝑚2=4 (k−m)(k+m)=4open paren k minus m close paren open paren k plus m close paren equals 4(𝑘−𝑚)(𝑘+𝑚)=4.Liệt kê các trường hợp: Vì kk𝑘 là số nguyên và mm𝑚 là số nguyên, nên (k−m)open paren k minus m close paren(𝑘−𝑚) và (k+m)open paren k plus m close paren(𝑘+𝑚) là các ước số nguyên của 4.Các cặp ước số của 4 là: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1).Giải các trường hợp:Trường hợp 1: k−m=2k minus m equals 2𝑘−𝑚=2 và k+m=2k plus m equals 2𝑘+𝑚=2. Cộng hai phương trình lại ta được 2k=42 k equals 42𝑘=4, suy ra k=2k equals 2𝑘=2.Trường hợp 2: k−m=-2k minus m equals negative 2𝑘−𝑚=−2 và k+m=-2k plus m equals negative 2𝑘+𝑚=−2. Cộng hai phương trình lại ta được 2k=-42 k equals negative 42𝑘=−4, suy ra k=-2k equals negative 2𝑘=−2.Các trường hợp còn lại không cho ra nghiệm nguyên cho kk𝑘.Tìm xx𝑥:Khi k=2k equals 2𝑘=2, phương trình trở thành x2−2x+1=0⟹(x−1)2=0⟹x=1x squared minus 2 x plus 1 equals 0 ⟹ open paren x minus 1 close paren squared equals 0 ⟹ x equals 1𝑥2−2𝑥+1=0⟹(𝑥−1)2=0⟹𝑥=1.Khi k=-2k equals negative 2𝑘=−2, phương trình trở thành x2+2x+1=0⟹(x+1)2=0⟹x=-1x squared plus 2 x plus 1 equals 0 ⟹ open paren x plus 1 close paren squared equals 0 ⟹ x equals negative 1𝑥2+2𝑥+1=0⟹(𝑥+1)2=0⟹𝑥=−1.Kết luận: Vậy, xx𝑥 là 1 hoặc -1. Khi x=1x equals 1𝑥=1:Số nghịch đảo là 11=1one-oneth equals 111=1.Tổng là 1+1=21 plus 1 equals 21+1=2, là một số nguyên.Khi x=-1x equals negative 1𝑥=−1:Số nghịch đảo là 1-1=-11 over negative 1 end-fraction equals negative 11−1=−1.Tổng là -1+(-1)=-2negative 1 plus open paren negative 1 close paren equals negative 2−1+(−1)=−2, là một số nguyên.
