đặt x = \(\frac{a}{b}\)trong đó a,b \(\in\)Z ; a,b \(\ne\)0 ; ( |a| , |b| ) = 1 .
Ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\in Z\)\(\Rightarrow\)a2 + b2 \(⋮\)ab ( 1 )
Từ ( 1 ) suy ra b2 \(⋮\)a, mà ( |a|, |b| ) = 1 nên b \(⋮\)a. Cũng do ( |a|,|b| ) = 1 nên a = 1 hoặc a = -1
Cũng chứng minh tương tự như trên, ta được b = 1 hoặc b = 01
Do đó : x = 1 hoặc x = -1
Ta có:
\(x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}\)
Đểc \(\frac{x^2+1}{x}\) là số nguyên \(\Rightarrow x^2+1\) phải chia hết cho x
Lại có \(x^2\) chia hết cho x
\(\Rightarrow x^2+1-x^2\)chia hết cho x
\(\Rightarrow1\) chia hết cho x
\(\Rightarrow x=1\) hoặc \(x=-1\)
