Question

Tìm nguyệ\(f,x^2+xy+y^2=x+y\)guyên của các phương trình sau

\(a,x^2+y^2-x-y=8\)

\(b,3x^2+2y^2+z^2+4xy+2xz=26-2yz\)

\(c,1+x+x^2+x^3+x^4=y^2\)

\(d,x^3-y^3-2y^2-3y-1=0\)

\(e,y^3-x^3=2x+1\)

\(f,x^2+xy+y^2=x+y\)

\(g,x^2+xy+y^2=2x+y\)

 

Answer 1

\(a,x^2+y^2-x-y=8\)

\(\Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}-8,5=0\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-8,5=0\)

Ta có : \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-8,5\ge-8,5\forall x;y\)

Để VP=0 và là các số nguyên 

=>\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=8,5\)

Answer 2

a/ x^2 + y^2 - x - y = 8

<=> 4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y = 32

<=> (2x - 1)^2 + (2y - 1)^2 = 34

<=> (2x - 1)^2 = 9 và (2y - 1)^2 = 25

Hoặc (2x - 1)^2 = 25 và (2y - 1)^2 = 9

Answer 3

b/ 3x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz + 2zx = 26

<=> (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) + (x^2 + 2xy + y^2) + x^2 = 26

<=> (x + y + z)^2 + (x + y)^2 + x^2 = 26

Tổng 3 số chính phương là 26

3 số đó có thể là: 0, 1, 25; 1, 9, 16 làm tiếp nha

Answer 4

c/ 4y^2 = 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4

Dễ thấy được 

(2x^2 + x)^2 < 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 < (2x^2 + x + 3)^2

Hay

(2x^2 + x)^2 < (2y)^2 < (2x^2 + x + 3)^2

=> 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = (2x^2 + x + 1)^2 

Hoặc 

4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = (2x^2 + x + 2)^2

Làm nốt

Answer 5

d/ x^3 = y^3 + 2y^2 + 3y + 1

Ta có: 

(y - 1)^3 < y^3 + 2y^2 + 3y +1 ≤ (y + 1)^3

=> y^3 + 2y^2 + 3y + 1 = y^3

Hoặc 

y^3 + 2y^2 + 3y + 1 = (y + 1)^3

Làm nốt

Answer 6

Câu e giải giống câu d

Answer 7

f/ 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0

<=> (x + y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2

Bộ 3 số bình phương có tổng là 2 là: 0, 1, 1

Làm nốt

Câu g tương tự câu f

Answer 8

c/ Ta có:

\(4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)

Ta có:

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4-\left(2x^2+x\right)^2=3x^2+4x+4>0\)

\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4x^2+4x+4>\left(2x^2+x\right)^2\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4-\left(2x^2+x+3\right)^2=-9x^2-2x-5< 0\)

\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4x^2+4x+4< \left(2x^2+x+3\right)^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta được

\(\left(2x^2+x\right)^2< 4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4y^2< \left(2x^2+x+3\right)^2\left(2\right)\)

\(\Rightarrow4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+1\right)^2\)

Hoặc

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+2\right)^2\)

Giải 2 cái này tìm được x có x suy ra y

Answer 9

h/ \(2x^2+3xy-2y^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)=1\)

Answer 10

\(2x^2+3xy-2y^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-xy\right)+\left(4xy-2y^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x-y\right)+2y\left(2x-y\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)=1\)

Answer 11

e/ \(y^3=x^3+2x+1\)

Ta có:

\(x^3+2x+1-\left(x-1\right)^3=3x^2-x+2>0\)

\(\Rightarrow x^3+2x+1>\left(x-1\right)^3\left(1\right)\)

Ta lại có:​​​​

​\(x^3+2x+1-\left(x+2\right)^3=-6x^2-10x-7< 0\)​

​\(\Rightarrow x^3+2x+1< \left(x+2\right)^3\left(2\right)\)​

Từ (1) và (2) ta có:

\(\left(x-1\right)^3< y^3=x^3+2x+1< \left(x+2\right)^3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^3+2x+1=x^3\\x^3+2x+1=\left(x+1\right)^3\end{cases}}\)