\(a,x^2+y^2-x-y=8\)
\(\Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}-8,5=0\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-8,5=0\)
Ta có : \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-8,5\ge-8,5\forall x;y\)
Để VP=0 và là các số nguyên
=>\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=8,5\)
a/ x^2 + y^2 - x - y = 8
<=> 4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y = 32
<=> (2x - 1)^2 + (2y - 1)^2 = 34
<=> (2x - 1)^2 = 9 và (2y - 1)^2 = 25
Hoặc (2x - 1)^2 = 25 và (2y - 1)^2 = 9
b/ 3x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz + 2zx = 26
<=> (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) + (x^2 + 2xy + y^2) + x^2 = 26
<=> (x + y + z)^2 + (x + y)^2 + x^2 = 26
Tổng 3 số chính phương là 26
3 số đó có thể là: 0, 1, 25; 1, 9, 16 làm tiếp nha
c/ 4y^2 = 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4
Dễ thấy được
(2x^2 + x)^2 < 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 < (2x^2 + x + 3)^2
Hay
(2x^2 + x)^2 < (2y)^2 < (2x^2 + x + 3)^2
=> 4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = (2x^2 + x + 1)^2
Hoặc
4 + 4x + 4x^2 + 4x^3 + 4x^4 = (2x^2 + x + 2)^2
Làm nốt
d/ x^3 = y^3 + 2y^2 + 3y + 1
Ta có:
(y - 1)^3 < y^3 + 2y^2 + 3y +1 ≤ (y + 1)^3
=> y^3 + 2y^2 + 3y + 1 = y^3
Hoặc
y^3 + 2y^2 + 3y + 1 = (y + 1)^3
Làm nốt
f/ 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0
<=> (x + y)^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2
Bộ 3 số bình phương có tổng là 2 là: 0, 1, 1
Làm nốt
Câu g tương tự câu f
c/ Ta có:
\(4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)
Ta có:
\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4-\left(2x^2+x\right)^2=3x^2+4x+4>0\)
\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4x^2+4x+4>\left(2x^2+x\right)^2\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4-\left(2x^2+x+3\right)^2=-9x^2-2x-5< 0\)
\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4x^2+4x+4< \left(2x^2+x+3\right)^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta được
\(\left(2x^2+x\right)^2< 4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4y^2< \left(2x^2+x+3\right)^2\left(2\right)\)
\(\Rightarrow4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+1\right)^2\)
Hoặc
\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+2\right)^2\)
Giải 2 cái này tìm được x có x suy ra y
h/ \(2x^2+3xy-2y^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)=1\)
\(2x^2+3xy-2y^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-xy\right)+\left(4xy-2y^2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(2x-y\right)+2y\left(2x-y\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)=1\)
e/ \(y^3=x^3+2x+1\)
Ta có:
\(x^3+2x+1-\left(x-1\right)^3=3x^2-x+2>0\)
\(\Rightarrow x^3+2x+1>\left(x-1\right)^3\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(x^3+2x+1-\left(x+2\right)^3=-6x^2-10x-7< 0\)
\(\Rightarrow x^3+2x+1< \left(x+2\right)^3\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\left(x-1\right)^3< y^3=x^3+2x+1< \left(x+2\right)^3\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^3+2x+1=x^3\\x^3+2x+1=\left(x+1\right)^3\end{cases}}\)