Ta có: \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=8\)
Đặt \(c=x+y,a=y+z,b=z+x\Rightarrow abc=8\Rightarrow a,b,c\in\left\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\right\}\)
giả \(x\le y\le z\Rightarrow c\le b\le a\).
Lại có: \(a+b+c=2\left(x+y+z\right)=6\Rightarrow a\ge2\)
- Với a=2 ta có: \(\hept{\begin{cases}b+c=4\\bc=4\end{cases}\Rightarrow b=c=2\Rightarrow x=y=z=1}\)
- Với a=4 ta có: \(\hept{\begin{cases}b+c=2\\bc=2\end{cases}}\)( ko có nghiệm nguyên)
- Với a=8 ta có: \(\hept{\begin{cases}b+c=-2\\bc=1\end{cases}\Rightarrow b=c=-1\Rightarrow x=-5,y=z=4}\)
Vậy hệ pt có 4 nghiệm: \(\left(1;1;1\right),\left(4;4;-5\right),\left(4;-5;4\right),\left(-5;4;4\right)\)
