Question

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:

 

Answer 1

c. Phương trình <=> (4x² + 4x + 1) + (9x² + y² + 1 + 6xy + 2y + 6x) = 22 <=> (2x + 1)² + (3x + y + 1)² = 22

Vì (3x + y + 1)² \(\ge0\Rightarrow\left(2x+1\right)^2\le22\Leftrightarrow-\sqrt{22}\le2x+1\le\sqrt{22}\Leftrightarrow-\sqrt{22}-1\le2x\le\sqrt{22}-1\Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{22}-1}{2}\le x\le\dfrac{\sqrt{22}-1}{2}\)

Mà x nguyên nên \(x\in\left\{-2;-1;0;1\right\}.\)

Với \(x=-2,\) ta có: \(\left(-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=22\Leftrightarrow y^2-10y+12=0.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(x=-1,\) ta có: \(\left(-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=22\Leftrightarrow y^2-4y-17=0.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(x=0,\) ta có: \(1^2+\left(y+1\right)^2=22\Leftrightarrow y^2+2y-20=0.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(x=1,\) ta có: \(3^2+\left(y+4\right)^2=22\Leftrightarrow y^2+4y-9=0.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

d. Phương trình \(\Leftrightarrow\left(x^2+9y^2+1-6xy-6y+2x\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=101\Leftrightarrow\left(3y-x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=101\)

Vì \(\left(3y-x-1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(2y-1\right)^2\le101\Leftrightarrow-\sqrt{101}\le2y-1\le\sqrt{101}\Leftrightarrow1-\sqrt{101}\le2y\le1+\sqrt{101}\Leftrightarrow\dfrac{1-\sqrt{101}}{2}\le y\le\dfrac{1+\sqrt{101}}{2}\)

Mà y nguyên nên \(y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5\right\}.\)

Với \(y=-4,\) ta có: \(\left(-x-13\right)^2+\left(-9\right)^2=101\Leftrightarrow\left(x+13\right)^2=20.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=-3,\) ta có: \(\left(-x-10\right)^2+\left(-7\right)^2=101\Leftrightarrow\left(x+10\right)^2=52.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=-2,\) ta có: \(\left(-x-7\right)^2+\left(-5\right)^2=101\Leftrightarrow\left(x+7\right)^2=76.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=-1,\) ta có: \(\left(-x-4\right)^2+\left(-3\right)^2=101\Leftrightarrow\left(x+4\right)^2=92.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=0,\) ta có: \(\left(-x-1\right)^2+\left(-1\right)^2=101\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=100\Leftrightarrow x+1=10\)  hoặc x + 1 = -10 <=> x = 9 (nhận) hoặc x = -11 (nhận)

Với \(y=1,\) ta có: \(\left(-x-2\right)^2+1=101\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=100\) <=> x + 2 = 10 hoặc x + 2 = -10 <=> x = 8 (nhận) hoặc x = -12 (nhận)

Với \(y=2,\) ta có: \(\left(5-x\right)^2+9=101\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2=92.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=3,\) ta có: \(\left(8-x\right)^2+25=101\Leftrightarrow\left(x-8\right)^2=76.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=4,\) ta có: \(\left(11-x\right)^2+49=101\Leftrightarrow\left(x-11\right)^2=52.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Với \(y=5,\) ta có: \(\left(14-x\right)^2+9^2=101\Leftrightarrow\left(x-14\right)^2=20.\) Phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy nghiệm của phương trình là: (x;y) = (9;0), (-11;0), (8;1), (-12;1).