Do vai trò của \(x,y,z\)như nhau nên ta giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\).
Khi đó: \(2xyz=16+x+y+z\le16+3x\Rightarrow yz\le\frac{19}{2}\Rightarrow z^2\le\frac{19}{2}\Rightarrow z\le3\).
Với \(z=1\): \(2xy=17+x+y\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=35=1.35=5.7\)
suy ra \(\hept{\begin{cases}2x-1=35\\2y-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=18\\y=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}2x-1=7\\2y-1=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}}\).
Với \(z=2\): \(4xy=18+x+y\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\left(4y-1\right)=73=1.73\)
suy ra \(\hept{\begin{cases}4x-1=73\\4y-1=1\end{cases}}\)(loại vì không có nghiệm nguyên)
Với \(z=3\): \(6xy=19+x+y\Leftrightarrow\left(6x-1\right)\left(6y-1\right)=115=1.115=5.23\)
suy ra \(\hept{\begin{cases}6x-1=115\\6y-1=1\end{cases}}\)không có nghiệm nguyên hoặc \(\hept{\begin{cases}6x-1=23\\6y-1=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}}\)(loại vì \(y< z\))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(\left(18,1,1\right),\left(4,3,1\right)\)và các hoán vị.
