Question

Tìm n thuộc Z sao cho n-8 /n^2+1  thuộc Z

Answer 1

Để n - 8/n² + 1 thuộc Z thì n - 8 chia hết cho n² + 1

=> n(n - 8) chia hết cho n² + 1

=> n² - 8n chia hết cho n² + 1

=> n² + 1 - 8n - 1 chia hết cho n² + 1

Do n² + 1 chia hết cho n² + 1 => -(8n + 1) chia hết cho n² + 1

=> 8n + 1 chia hết cho n² + 1

Mà n - 8 chia hết cho n² + 1 => 8.(n - 8) chia hết cho n² + 1 => 8n - 64 chia hết cho n² + 1

=> (8n + 1) - (8n - 64) chia hết cho n² + 1

=> 8n + 1 - 8n + 64 chia hết cho n² + 1

=> 65 chia hết cho n² + 1

Mà $n^2+1\ge1$n2+1≥1=> $n^2+1\in\left\{1;5;13;65\right\}$n2+1∈{1;5;13;65}

=> $n^2\in\left\{0;4;12;64\right\}$n2∈{0;4;12;64}

Mà n² là bình phương của 1 số tự nhiên => $n^2\in\left\{0;4;64\right\}$n2∈{0;4;64}

=> $n\in\left\{0;2;-2;8;-8\right\}$n∈{0;2;−2;8;−8}

Thử lại ta thấy có 1 giá trị bị loại là -8

Vậy $n\in\left\{0;2;-2;8\right\}$

Answer 2

Để n - 8/n² + 1 thuộc Z thì n - 8 chia hết cho n² + 1

=> n(n - 8) chia hết cho n² + 1

=> n² - 8n chia hết cho n² + 1

=> n² + 1 - 8n - 1 chia hết cho n² + 1

Do n² + 1 chia hết cho n² + 1 => -(8n + 1) chia hết cho n² + 1

=> 8n + 1 chia hết cho n² + 1

Mà n - 8 chia hết cho n² + 1 => 8.(n - 8) chia hết cho n² + 1 => 8n - 64 chia hết cho n² + 1

=> (8n + 1) - (8n - 64) chia hết cho n² + 1

=> 8n + 1 - 8n + 64 chia hết cho n² + 1

=> 65 chia hết cho n² + 1

Mà \(n^2+1\ge1\)=> \(n^2+1\in\left\{1;5;13;65\right\}\)

=> \(n^2\in\left\{0;4;12;64\right\}\)

Mà n² là bình phương của 1 số tự nhiên => \(n^2\in\left\{0;4;64\right\}\)

=> \(n\in\left\{0;2;-2;8;-8\right\}\)

Thử lại ta thấy có 1 giá trị bị loại là -8

Vậy \(n\in\left\{0;2;-2;8\right\}\)