Question

Tìm n thuộc N sao cho 1!+2!+3!+4!+ ...........+n! là số chính phương

Answer 1

Giả sử \(1!+2!+3!+4!+...+n!=x^2\left(x\in N\right)\)(*)

Xét  \(n=1\)khi đó \(VT\)(*)=1 là số chính phương

Xét  \(n=2\)khi đó \(VT\)(*)=5 không là số chính phương

Xét \(n=3\)khi đó \(VT\)(*)=9 là số chính phương

Xét \(n=4\) khi đó \(VT\)(*)=33 không là số chính phương

Xét \(n\ge5\)khi đó \(VT\)(*)=\(33+5!+6!+...+n!\), ta nhận thấy \(5!+6!+...+n!⋮5\)

\(\Rightarrow33+5!+6!+...+n!\)chia \(5\)dư \(3\)

Mà vế phâi (*) \(x^2\)là số chính phương nên chia cho 5 chỉ dư 0 hoặc 1 hoặc 4, không thể bằng vế trái.

Tổng hợp tất cả các trường hợp trên ta được \(n=1\)hoặc \(n=3\)