Lời giải:
a.
$12n^2-5n-25=(3n-5)(4n+5)$
Để $12n^2-5n-25$ là số nguyên tố thì một trong hai thừa số $3n-5, 4n+5$ phải bằng $1$ và số còn là là số nguyên tố.
Mà $3n-5< 4n+5$ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên $3n-5=1$
$\Rightarrow n=2$
Thử lại thấy $12n^2-5n-25=13$ là snt (thỏa mãn)
b.
Với $n=1$ thì $n^{2021}+n^{22}+1=3$ là snt
Với $n\geq 2$ thì:
$n^{2021}+n^{22}+1=(n^{2021}-n^2)+(n^{22}-n)+(n^2+n+1)$
$=n^2(n^{2019}-1)+n(n^{21}-1)+(n^2+n+1)$
$=n^2[(n^3)^{673}-1]+n[(n^3)^7-1)]+(n^2+n+1)$
$=n^2(n^3-1).A+n(n^3-1).B+(n^2+n+1)$
$=n^2(n-1)(n^2+n+1).A+n(n-1)(n^2+n+1)B+(n^2+n+1)$
$=(n^2+n+1)[n^2(n-1)A+n(n-1)B+1]$
Trong đó, $A,B$ chỉ là ký hiệu thay thế cho biểu thức dài khi khai triển HĐT.
Dễ thấy $n^2+n+1>2$ với mọi $n\geq 2$ nên để biểu thức là snt thì:
$n^2(n-1)A+n(n-1)B+1=1$
$\Rightarrow n^2(n-1)A+n(n-1)B=0$ (điều này vô lý với $n\geq 2; A, B>2$ với mọi $n\geq 2$)
Do đó $n=1$ là đáp án duy nhất/
