Gọi d là ước nguyên tố chung của 2n - 1 và 9n + 4
=> 2n - 1 chia hết cho d; 9n + 4 chia hết cho d
=> 9.(2n - 1) chia hết cho d; 2.(9n + 4) chia hết cho d
=> 18n - 9 chia hết cho d; 18n + 8 chia hết cho d
=> (18n + 8) - (18n - 9) chia hết cho d
=> 18n + 8 - 18n + 9 chia hết cho d
=> 17 chia hết cho d
=> d thuộc {1 ; 17}
Do d nguyên tố => d = 17
Với d = 17 thì 2n - 1 chia hết cho 17; 9n + 4 chia hết cho 17
=> 2n - 1 - 17 chia hết cho 17; 9n + 4 - 85 chia hết cho 17
=> 2n - 18 chia hết cho 17; 9n - 81 chia hết cho 17
=> 2.(n - 9) chia hết cho 17; 9.(n - 9) chia hết cho 17
Mà (2;17)=1; (9;17)=1 => n - 9 chia hết cho 17
=> n = 17.k + 9 (k thuộc Z)
Vậy với n khác 17.k + 9 (k thuộc Z) thì 2n - 1 và 9n + 4 nguyên tố cùng nhau
Gọi d là ước nguyên tố chung của 2n - 1 và 9n + 4
=> 2n - 1 chia hết cho d; 9n + 4 chia hết cho d
=> 9.(2n - 1) chia hết cho d; 2.(9n + 4) chia hết cho d
=> 18n - 9 chia hết cho d; 18n + 8 chia hết cho d
=> (18n + 8) - (18n - 9) chia hết cho d
=> 18n + 8 - 18n + 9 chia hết cho d
=> 17 chia hết cho d
=> d thuộc {1 ; 17}
Do d nguyên tố => d = 17
Với d = 17 thì 2n - 1 chia hết cho 17; 9n + 4 chia hết cho 17
=> 2n - 1 - 17 chia hết cho 17; 9n + 4 - 85 chia hết cho 17
=> 2n - 18 chia hết cho 17; 9n - 81 chia hết cho 17
=> 2.(n - 9) chia hết cho 17; 9.(n - 9) chia hết cho 17
Mà (2;17)=1; (9;17)=1 => n - 9 chia hết cho 17
=> n = 17.k + 9 (k thuộc Z)
Vậy với n khác 17.k + 9 (k thuộc Z) thì 2n - 1 và 9n + 4 nguyên tố cùng nhau
gọi \(d\) là 1 ước nguyên tố chung của \(2n-1;9n+4\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-1⋮d\\9n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}9\left(2n-1\right)⋮d\\2\left(9n+4\right)⋮d\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}18n-9⋮d\\18n+8⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow18n+8-\left(18n-9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow18n+8-18n+9\) \(⋮d\)
\(\Rightarrow17\) \(⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\text{Ư}_{\left(17\right)}=\text{ }\left\{1;17\right\}\)
với \(d=17\)
\(\Rightarrow2n-1⋮17\Rightarrow2n+16-17⋮17\Rightarrow2n+16⋮17\left(v\text{ì}17⋮17\right)\)
\(\Rightarrow2\left(n+8\right)⋮17\)
\(\Rightarrow n+8\) \(⋮17\left(v\text{ì}\left(2;17\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow n+8=17k\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow n=17k-8\)
vậy \(n\ne17k-8\) thì 2 số \(2n-1;9n+4\) nguyên tố cùng nhau
