Đặt A = 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n
2A = 2.23 + 3.24 + 4.25 + ... + n.2n+1
2A - A = (2.23 - 3.23) + (3.24 - 4.24) + ... + [(n-1).2n - n.2n] + n.2n+1
A = -23 - 24 - ... - 2n + n.2n+1 - 2.22
A = n.2n+1 - (23 + 24 + 25 + ... + 2n) - 23
Đặt B = 23 + 24 + ... + 2n
2B = 24 + 25 + ... + 2n+1
2B - B = 24 + 25 + ... + 2n+1 - 23 - 24 - 2n
B = 2n+1 - 23
Mà A = n.2n+1 - (23 + 24 + 25 + ... + 2n) - 23
=> A = n.2n+1 - B - 23
=> A = n.2n+1 - (2n+1 - 23) - 23
A = n.2n+1 - 2n+1 + 23 - 23
A = (n-1).2n+1
Mà 2.22+ 3.23 + 4.24 + 5.25 + · · · + n.2n = 2n+10
=> A = 2n+10
=> (n-1).2n+1 = 2n+10
(n-1) = 2n+10 : 2n+1
n-1 = 29
n = 512 + 1
n = 513
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