Question

Tìm n : 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ = 2^{n + 10}

Answer 1

 A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ 

2.A = 2.2³ + 3.2⁴ + 4.2⁵ + ...+ n.2ⁿ⁺¹

=> A - 2.A = 2.2² + (3.2³ - 2.2³)  + (4.2⁴ - 3.2⁴) + ...+ (n - n + 1).2ⁿ - n.2ⁿ⁺¹

=> -A = 2.2² + 2³ + 2⁴ + ..+ 2ⁿ - n.2^{n+ 1}  = 2² + (2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1}) - (n+1).2ⁿ⁺¹

=> A =  - 2² -  (2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1}) + (n+1).2ⁿ⁺¹

Tính B = 2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1} => 2.B =  2³ + ....+ 2^{n+ 1} + 2ⁿ⁺² => 2B - B = 2ⁿ⁺² - 2² => B = 2ⁿ⁺² - 2²

Vậy A = -2² - 2ⁿ⁺² + 2² + (n+1).2ⁿ⁺¹ = (n+1).2ⁿ⁺¹ - 2^{n+ 2} = 2ⁿ⁺¹.(n + 1 - 2) = (n-1).2ⁿ⁺¹ = 2(n-1).2ⁿ

Theo bài cho  A = 2(n-1).2ⁿ = 2ⁿ⁺¹⁰ => 2(n - 1) = 2¹⁰ => n - 1 = 2⁹  = 512 => n = 513

Vậy.............

Answer 2

chịu đấy lúc nào bạn cần vậy

Answer 3

Ta có

 A = 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ 

2.A = 2.2³ + 3.2⁴ + 4.2⁵ + ...+ n.2ⁿ⁺¹

=> A - 2.A = 2.2² + (3.2³ - 2.2³)  + (4.2⁴ - 3.2⁴) + ...+ (n - n + 1).2ⁿ - n.2ⁿ⁺¹

<=> -A = 2.2² + 2³ + 2⁴ + ..+ 2ⁿ - n.2^{n+ 1}  = 2² + (2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1}) - (n+1).2ⁿ⁺¹

=> A =  - 2² -  (2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1}) + (n+1).2ⁿ⁺¹

 B = 2² + 2³ + ....+ 2^{n+ 1}

 => 2.B =  2³ + ....+ 2^{n+ 1} + 2ⁿ⁺² 

=> 2B - B = 2ⁿ⁺² - 2² 

=> B = 2ⁿ⁺² - 2²

Vậy A = -2² - 2ⁿ⁺² + 2² + (n+1).2ⁿ⁺¹ 

= (n+1).2ⁿ⁺¹ - 2^{n+ 2} 

= 2ⁿ⁺¹.(n + 1 - 2)

= (n-1).2ⁿ⁺¹ 

= 2(n-1).2ⁿ

Theo bài cho  A = 2(n-1).2ⁿ = 2ⁿ⁺¹⁰ 

=> 2(n - 1) = 2¹⁰ 

=> n - 1 = 2⁹  = 512

=> n = 513

Vậy...............