Question

tìm mọi số nguyên tố x,y thỏa mãn:\(x^2\)-2\(y^2\)=1

 

Answer 1

Biến đổi bt tương đương : (x^2-1)/2 =y^2 
Ta có: vì x,y là số nguyên dương nên 
+) x>y và x phải là số lẽ. 
Từ đó đặt x=2k+1 (k nguyên dương); 
Biểu thức tương đương 2*k*(k+1)=y^2 (*); 
Để ý rằng: 
Y là 1 số nguyên tố nên y^2 sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là : 
{1,y, y^2} ; 
từ (*) dễ thấy y^2 chia hết cho 2, dĩ nhiên y^2 không thể là 2, vậy chỉ có thể y=2 =>k=1; 
=>x=3. 
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2 (thoả mãn).

Answer 2

Ta có x²-2y²=1\(\Leftrightarrow\)x²=2y²+1\(\Rightarrow\)x là số lẻ.

Đặt x=2k+1\(\Rightarrow\) (2k+1)²=2y²+1\(\Leftrightarrow\) 4k²+4k+1=2y²+1\(\Leftrightarrow\) y²=2k²+2k\(\Rightarrow\) y chẵn, mà y là số nguyên tố \(\Rightarrow\) y=2\(\Rightarrow\) x=3