Bổ sung thêm đk: \(-1\le x\le5\)
Giải: Dễ thấy với \(-1\le x\le5\)thì \(-x^2+3x+18\ge0;-x^2+4x+5\ge0\)
Do đó biểu thức P được xác định, mặt khác ta lại có:
\(\left(-x^2+3x+18\right)-\left(-x^2+4x+5\right)=13-x>0\Rightarrow P>0\)
Như vậy để tìm GTNN của P, ta có thể tìm GTNN của \(P^2\)rồi suy ra kết quả bài toán. Ta có:
\(P^2=-2x^2+7x+23-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)\left(x+1\right)\left(5-x\right)}\)
Chú ý rằng \(\left(x+3\right)\left(5-x\right)+\left(6-x\right)\left(x+1\right)=-2x^2+7x+21\)
ta suy ra \(P^2=\left[\sqrt{\left(x+3\right)\left(5-x\right)}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(6-x\right)}\right]^2+2\ge2\)
Do P>0 nên \(P\ge\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\sqrt{\left(x+3\right)\left(5-x\right)}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(6-x\right)}\Leftrightarrow x=3\)
Vậy \(Min_P=\sqrt{2}\)đạt được khi x=3
