Question

tìm Max và Min của bểu thức \(A=x^3+y^3\)

biết \(x,y\ge0\)và \(x^2+y^2=1\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

\(A=x^3+y^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x^2+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Từ giả thuyết suy ra:\(0\le x^2,y^2\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3\le x\\y^3\le y\end{cases}}\)

\(A=x^3+y^3\le x+y\le\sqrt{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)

Vậ5y \(A_{max}=\sqrt{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)