Question

Tìm m để phương trình \(2x+\sqrt{x-1}=m\)có nghiệm.

Answer 1

Điều kiện xác định : \(x\ge1\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=t\) , \(t\ge0\) thì pt trên trở thành 

\(m=2\left(t^2+1\right)+t\Leftrightarrow2t^2+t+\left(2-m\right)=0\)
Ta đưa bài toán về dạng tìm giá trị của m để \(f\left(t\right)=0\) , với \(f\left(t\right)=2t^2+t+\left(2-m\right)\)

 Xét \(\Delta=1-8\left(2-m\right)=8m-15\ge0\Leftrightarrow m\ge\frac{15}{8}\)

Phương trình có nghiệm : 

\(t_1=\frac{-1+\sqrt{8m-15}}{4}\)(nhận) , \(t_2=\frac{-1-\sqrt{8m-15}}{4}\) (loại)

 Để \(f\left(t_1\right)=0\) thì \(t_1\ge0\Leftrightarrow\frac{\sqrt{8m-15}-1}{4}\ge0\Leftrightarrow m\ge2\)

Vậy điều kiện để phương trình ban đầu có nghiệm là \(m\ge2\)