Question

tìm hai số tự nhiên x;y thoả mãn (2x-y)(x+y+1)=x^2 CMR (2x-y) là số chính phương

 

Answer 1

Gọi \(ƯC\left(2x-y;x+y+1\right)=d\left(d\in N\right)\)

\(\Rightarrow2x-y⋮d,x+y+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2x-y\right)\left(x+y+1\right)⋮d^2\Rightarrow x^2⋮d^2\Rightarrow x⋮d\) (1)

Mặt khác, \(2x-y+x+y+1⋮d\Rightarrow3x+1⋮d\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(3x+1-3x⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy 2x - y và x + y + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Mà \(\left(2x-y\right)\left(x+y+1\right)\) là số chính phương

Nên 2x - y và x + y + 1 là 2 số chính phương.