Question

Tìm GTNN của P 

\(P=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab\)

với a > 0, b > 0 và a + b < hoặc = 4

Answer 1

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) và BĐT AM-GM ta có:

\(P=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{2ab}+\frac{32}{ab}+2ab+\frac{2}{ab}\)

\(\ge\frac{2.4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{32}{ab}.2ab}+\frac{2}{ab}\)

\(\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}+2.\sqrt{64}+\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)

\(\ge\frac{8}{4^2}+2.8+\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{1}{2}+16+\frac{8}{4^2}=\frac{1}{2}+16+\frac{1}{2}=17\)

Nên GTNN của P là 17 đạt được khi a=b=2