Question

Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) P= \(\left(x-2y\right)^2-\left(y-2012\right)^{2014}\)

b) Q= \(\left(x+y-3\right)^4+\left(x-2y\right)^2+2015\)

Answer 1

a) Có thể đề là: P = (x - 2y)²  + (y - 2012)²⁰¹⁴

Vì (x - 2y)² \(\ge\) 0 ; (y - 2012)² \(\ge\) 0 với mọi x; y nên  P =  (x - 2y)²  + (y - 2012)²⁰¹⁴ \(\ge\) 0 với mọi x; y

=> P nhỏ nhất = 0 khi x - 2y = 0 và y - 2012 = 0 

=> y = 2012 và x = 2y = 4024

b) Vì (x + y - 3)⁴ \(\ge\) 0 ; (x - 2y)² \(\ge\) 0 => Q =  (x + y - 3)⁴ +  (x - 2y)² + 2015  \(\ge\) 0 + 0 + 2015 = 2015 với mọi x; y

=> Q nhỏ nhất = 2015 khi x + y - 3 = 0 và x - 2y = 0

=> x = 2y và x + y  =3 => 3y = 3 => y = 1 ; x = 2

Answer 2

a) P không có giá trị nhỏ nhất vì lấy y là số lớn tùy ý và x = 2y khi đó P = 0 - (y - 2012)²⁰¹⁴  sẽ là số âm có giá trị tuyệt đối rất lớn. Có thể câu hỏi ra là dấu + trước biểu thức (y - 2012)²⁰¹⁴.

Nếu P = (x -2y)² + (y - 2012)²⁰¹⁴ thì P > 0 + 0 (lũy thừa bạc chẵn bao giờ cũng không âm)

P nhỏ nhất = 0 khi x - 2y = 0 và y - 2012 = 0, hay là y = 2012 và x = 2.y = 4024

b) Q = (x + y - 3)² + (x - 2y)² + 2015 > 0 + 0 + 2015 = 2015. Q nhỏ nhất = 2015 khi x + y -3 = 0 và x - 2y = 0

=> x + y =3     (1)

     x = 2y        (2)

Thay x = 2y vào  (1)

=> 2y + y = 3 => 3y = 3 => y = 1

=> x = 2.y = 2

Vậy Q nhỏ nhất = 15 khi x = 2 và y = 1