Question

Tìm GTNN của biểu thức: P= x²+xy+y²-2x-3y+2010

Answer 1

Nguyễn Thành Phát

P = x² + xy + y² - 3x - 3y + 2010 ⇒ 4P = 4(x² + xy + y² - 3x - 3y + 2010) 

= 4x² + 4xy + 4y² - 12x - 12y + 8040 = 4x² + 4xy + y² + 3y² - 12x - 6y - 6y + 3 + 9 + 8028 

= (4x² + 4xy + y²) - (12x + 6y) + 9 + (3y² - 6y + 3) + 8028 

= [ (2x + y)² - 6(2x + y) + 9 ] + 3(y² - 2y + 1) + 8028 

= (2x + y - 3)² + 3(y - 1)² + 8028. Do (2x + y - 3)² ≥ 0 và 3(y - 1)² ≥ 0 

⇒ (2x + y - 3)² + 3(y - 1)² + 8028 ≥ 8028 ⇒ 4P ≥ 8028 ⇒ P ≥ 2007. 

Dấu '=' xảy ra ⇔ 3(y - 1)² = 0 và (2x + y - 3)² = 0 

⇔ y - 1 = 0 và 2x + y - 3 = 0 

⇔ y = 1 và x = (3 - y)/2 = (3 - 1)/2 = 1

Vậy với x = y = 1 thì GTNN của P là 2007.

Answer 2

-2x chứ đâu phải -3x đâu bạn