\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}..\)
min A = 1/3 . khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski,ta có:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow1\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski một lần nữa,ta có:
\(\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\le3\left(x^4+y^4+z^4\right)\left(2\right)\)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\) dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy......
e lộn chỗ dấu "=" xảy ra tí nha mọi người.
\(x=y=z=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\) mới đúng ah
