*) Ta chứng minh bất đẳng thức: |x| + |y| \(\ge\) |x+ y|
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
- |x | \(\le\) x \(\le\) |x|
- |y| \(\le\) y \(\le\) |y|
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có: - |x| - |y| \(\le\) x+ y \(\le\) |x| + |y| => - (|x| + |y|) \(\le\) x+ y \(\le\) |x| + |y|
=> |x + y | \(\le\) |x| + |y|. Dấu "=" xảy ra <=> x; y cùng dấu
*) Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: |x| + |y| + |z| \(\ge\) |x+ y| + |z| \(\ge\) |x+ y + z|
=> |x|+ |y| + |z| + |t| \(\ge\) |x+ y + z| + |t| \(\ge\) |x+ y + z+ t|
Dấu "=" xảy ra <=> xy \(\ge\)0; (x+ y)z \(\ge\) 0 ; (x+ y + z)t \(\ge\) 0 => x; y; z; t cùng \(\ge\) 0 hoặc x; y ; z; t \(\le\) 0
Áp dụng vào bài tập ta có
A = |x - a| + |x - b| + |c - x| + |d - x| \(\ge\) |(x - a) + (x - b) + (c - x) + (d - x)| = |c+ d - a - b| = c+ d- a- b ( do a < b < c< d nên c - a > 0 và d - b > 0)
Dấu "=' xảy ra <=> x - a ;x - b; c - x; d - x đều \(\ge\) 0; hoặc x - a; x - b ; c - x; d - x đều \(\le\) 0
Nếu x - a ;x - b; c - x; d - x đều \(\ge\) 0 thì b \(\le\) x \(\le\) c
Nếu x - a; x - b ; c - x; d - x đều \(\le\) 0 : không có x thỏa mãn
Vậy A nhỏ nhất bằng c+ d - a - b tại các giá trị của x thỏa mãn b \(\le\) x \(\le\) c
giải:
Ta có
|x-a|+|x-d| có giá trị nhỏ nhất là |x-a-x+d|=d-a (do |x-d|=|d-x| ) với đk a<d [1]
|x-b|+|x-c| có giá trị nhỏ nhất là |x-b+c-a|= c-b với đk b<c [2]
từ [1] và [2] suy ra min A=d-a+c-b với x lớn hơn hoặc bằng b và x nhỏ hơn hoặc bằng c
Cách này dễ hiểu hơn vs lại mình chắc chắn 100% là đúng
