Question

Tìm GTLN (GTNN) của:

\(A=-x^2+2xy-4y^2+2x+10y-8\)

\(B=2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+2004\)
giúp mk với

Answer 1

A = -x² + 2xy - 4y² + 2x + 10y - 8

=> -A = x² - 2xy + 4y² - 2x - 10y + 8

          = ( x² - 2xy + y² - 2x + 2y + 1 ) + ( 3y² - 12y + 12 ) - 5

          = [ ( x² - 2xy + y² ) - ( 2x - 2y ) + 1 ] + 3( y² - 4y + 4 ) - 5

          = [ ( x - y )² - 2( x - y ) + 1 ] + 3( y - 2 )² - 5

          = ( x - y - 1 )² + 3( y - 2 )² - 5 ≥ -5 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra <=> x = 3 ; y = 2

=> -A ≥ -5

=> A ≤ 5

=> MaxA = 5 <=> x = 3 ; y = 2

B = 2x² + 9y² - 6xy - 6x - 12y + 2004

= ( x² - 6xy + 9y² + 4x - 12y + 4 ) + ( x² - 10x + 25 ) + 1975

= [ ( x² - 6xy + 9y² ) + ( 4x - 12y ) + 4 ] + ( x - 5 )² + 1975

= [ ( x - 3y )² + 2( x - 3y ).2 + 2² ] + ( x - 5 )² + 1975

= ( x - 3y + 2 )² + ( x - 5 )² + 1975 ≥ 1975 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra <=> x = 5 ; y = 7/3

=> MinB = 1975 <=> x = 5 ; y = 7/3

Answer 2

Ta có: A = -x² + 2xy - 4y² + 2x + 10y - 8

A = -[x² - 2xy + 4y² - 2x - 10y + 8]

A = -[(x² - 2xy + y²) - 2(x + y) + 1 + 3y² - 12y + 12 - 5]

A = -[(x - y)² - 2(x + y) + 1 + 3(y - 2)²]+ 5

A = -[(x - y - 1)² + 3(y - 2)²] + 5 \(\le\) 5 với mọi x

Dấu "=" xảy ra <=> x - y - 1 = 0 và y + 2 = 0

=>x = -1 và y = -2

Vậy MaxA = 5 khi x = -1 và y = -2

B = 2x² + 9y² - 6xy - 6x - 12y + 2004

B = (x² - 6xy + 9y²) + 4(x - 3y) + 4 + x² - 10x + 25 + 1975

B = (x - 3y + 2)² + (x - 5)² + 1975 \(\ge\)1975

đoạn cuối tt trên