P max <=> (x + y)(y + z)(z + x) min
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số , ta có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)
Nhân vế theo vế
=> \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2.\sqrt{xy}.2.\sqrt{yz}.2.\sqrt{zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)
=> Min = 8xyz
=> \(Max_P=\frac{xyz}{8xyz}=\frac{1}{8}\)
Còn xét từng giá trị x,y,z thì tớ không biết làm :)
Áp dụng BĐT , ta có:
Nhân lại sẽ tìm được \(max_p\), dấu bằng xảy ra khi
\(Max_P=\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra
\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Vì x,y,z >0
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(z+y\ge2\sqrt{zy}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Nhân các BĐT trên ta được
\(\left(x+y\right)\left(z+y\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{xy.yz.zx}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(z+y\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{8}\)
GTLN của P=1/8 khi và chỉ khi x=y=z
Không mất tính tổng quát giả sử \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(=\frac{1}{2}x\left(x+z-2y\right)^2+\frac{3}{2}x\left(x-z\right)^2+\left(y-x\right)\left(z-x\right)\left(y+z-2x\right)+8xyz\ge8xyz\)
