(ax+by)^2<=(x^2+y^2)(a^2+b^2) Bài này là với x,y=1; a,b là 2 cái căn.
Chứng minh bằng biến đổi tương đương
Điều kiện \(\hept{\begin{cases}2x-3\ge0\\4-2x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\le2\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{3}{2}\le x\le2\)
Cụ thể hơn đi các bạn.
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được;
\(Q=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4-2x}\)
\(\Rightarrow Q^2=\left(1\sqrt{2x-3}+1\sqrt{4-2x}\right)^2\)
\(Q^2\le\left(1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{2x-3}\right)^2+\left(\sqrt{4-2x}\right)^2\right]\)
\(=2\left(2x-3+4-2x\right)=2\)
\(\Leftrightarrow Q^2\le2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le Q\le\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{1}=\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{4-2x}}\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}=\sqrt{4-2x}\Leftrightarrow2x-3=4-2x\Leftrightarrow4x=7\Leftrightarrow x=\frac{7}{4}\)(nhận)
Vậy GTLN của Q là \(\sqrt{2}\)khi \(x=\frac{7}{4}\)
ĐKXĐ : \(1,5\le x\le2\)
\(Q=1.\sqrt{2x-3}+1.\sqrt{4-2x}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(2x-3+4-2x\right)}=\sqrt{2}\)
"=" xảy ra <=> \(\frac{1}{\sqrt{2x-3}}=\frac{1}{\sqrt{4-2x}}\Leftrightarrow x=\frac{7}{4}\)(tm)
Max Q = \(\sqrt{2}\) khi x = 7/4
