Question

Tìm GTLN của biểu thức:\(M=\frac{4x^2}{x^4+1}\)

Answer 1

Đặt \(t=x^2,t\ge0\)\(\Rightarrow M=\frac{4t}{t^2+1}\)

Với t = 0 => M = 0Với \(t\ne0\), ta có M đạt giá trị lớn nhất <=> \(\frac{1}{M}\)đạt giá trị nhỏ nhất

Xét : \(\frac{1}{M}=\frac{t^2+1}{4t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{4t}=\frac{1}{4}\left(t+\frac{1}{t}\right)\ge\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)

Do đó, \(M\ge2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow t=\frac{1}{t}\Leftrightarrow t=1\)( t > 0 ) \(\Rightarrow x=\pm1\)

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 , khi \(x=\pm1\)