Ta có: \(\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2+2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)+1}{\sqrt{x}-1}=\left(\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)+2\)
Áp dụng bất đẳng thức côsi. Ta có:
\(\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\frac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)}}=2.\sqrt{1}=2\)
Suy ra : \(\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\ge2+2=4\)
Hay \(\frac{x}{\sqrt{x}-1}\) \(\ge\) 4
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt{x}-1=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
===================> \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=1\)
===================> \(\left[\begin{matrix}\sqrt{x}-1=1\\\sqrt{x}-1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=4\left(tmdk\right)\\x=0\left(ktmdk\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy MIN của \(\frac{x}{\sqrt{x}-1}\) là 4 khi x=4
