Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b\ge c+d\)
Từ giả thiết suy ra \(b+c\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
\(A=\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}=\frac{b+c}{c+d}-\left(\frac{c}{c+d}-\frac{c}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{a+b+c+d}{2\left(c+d\right)}-\left(\frac{c+d}{c+d}-\frac{c+d}{a+b}\right)\)
Đặt a + b = x ; c + d = y ( \(x\ge y>0\), ta có :
\(A\ge\frac{x+y}{2y}-\frac{y}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{2y}+\frac{1}{2}-1+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{2y}.\frac{y}{x}}-\frac{1}{2}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow d=0,x=y\sqrt{2};b+c=a+d\)
chẳng hạn \(a=\sqrt{2}+1;b=\sqrt{2}-1;c=2;d=0\)
