Question

tìm giá trị nhỏ nhất của \(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\)với x,y cùng dấu

Answer 1

Ta co:

\(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=1\)hoac \(x=y=-1\)

Answer 2

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)(Vì x,y cùng dấu)

và \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)(Vì x,y cùng dấu)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)(Vì \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\left(cmt\right)\))

Vậy GTNN của \(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\)là 4\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)