Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=8x^2+3y^2-8xy-6y+21\)

 

Answer 1

Ta có : 

\(P=8x^2+3y^2-8xy-6y+21\)

\(=\left(8x^2-8xy+2y^2\right)+\left(y^2-6y+9\right)+12\)

\(=2\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y-3\right)^2+12\)

\(=2\left(2x-y\right)^2+\left(y-3\right)^2+12\)

Ta có 

\(2\left(2x-y\right)^2+\left(y-3\right)^2\ge0\) với mọi x , y 

Suy ra : 

\(2\left(2x-y\right)^2+\left(y-3\right)^2+12\ge12\)

\(\Leftrightarrow P\ge12\)

 Dấu " = " xảy ra khi \(2x-y=y-3=0\) .  Suy ra  \(x=\frac{3}{2},y=3\)

Vậy GTNN của P là 12, đạt được khi \(x=\frac{3}{2},y=3\)