Từ biểu thức trên suy ra:
\(x^2-\left(\sqrt{y}-1\right)x+y-\sqrt{y}+1-P=0\) \(\left(\cdot\right)\)
Coi phương trình \(\left(\cdot\right)\) là một phương trình bậc hai đối với ẩn \(x\) . Như vậy, ta lập công thức del-ta như sau:
\(\Delta_x=\left(\sqrt{y}-1\right)^2-4\left(y-\sqrt{y}+1-P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(y-2\sqrt{y}+1-4y+4\sqrt{y}-4+4P\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(-3y+2\sqrt{y}-3+4P\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(4P\ge3y-2\sqrt{y}+3=3\left(y-2.\frac{1}{3}.\sqrt{y}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}\right)=3\left(\sqrt{y}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)
Với mọi \(x,y\in R\)thì ta luôn có \(P\ge\frac{2}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(y=\frac{1}{9}\) nên dễ dàng suy ra được \(x=-\frac{1}{3}\)
Kết luận: .....
