TA CÓ \(\frac{16x^2-5x+3}{4x}=4x-\frac{5}{4}+\frac{3}{4x}\)
Áp dụng BDT cô-si có \(4x-\frac{5}{4}+\frac{3}{4x}\ge-\frac{5}{4}+2\sqrt{4x\times\frac{3}{4x}}=-\frac{5}{4}+2\times3=\frac{19}{4}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow4x=\frac{3}{4x}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
bạn kia làm đúng rồi
k tui nha
thank
Đề \(\Leftrightarrow\frac{16x-5+\frac{3}{x}}{4}\)\(\left(ĐKXĐ:x\ne0\right)\)
Ta có bài toán phụ:
Với 2 số không âm a,b ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)(với mọi a,b không âm)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{4ab}\left(1\right)\)
Vì a,b không âm nên \(a+b>0,4ab>0\)
Do đó: \(\left(1\right)\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)(BĐT Cauchy)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng bđt trên vào bài toán ta có: \(16x+\frac{3}{x}\ge2\sqrt{16x\cdot\frac{3}{x}}\Leftrightarrow16x+\frac{3}{x}\ge2\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow16x+\frac{3}{x}\ge2\cdot4\cdot\sqrt{3}\)\(\Leftrightarrow16x+\frac{3}{x}\ge8\sqrt{3}\Leftrightarrow16x-5+\frac{3}{x}\ge8\sqrt{3}-5\)
\(\Leftrightarrow\frac{16x-5+\frac{3}{x}}{4}\ge\frac{8\sqrt{3}-5}{4}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow16x=\frac{3}{x}\Leftrightarrow16x^2=3\Leftrightarrow x^2=\frac{3}{16}\Rightarrow x=\hept{\begin{cases}-\frac{\sqrt{3}}{4}\left(chọn\right)\\\frac{\sqrt{3}}{4}\left(chọn\right)\end{cases}}\)
Vậy Min của biểu thức là \(\frac{8\sqrt{3}-5}{4}\), dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x\in\left\{\frac{\sqrt{3}}{4};-\frac{\sqrt{3}}{4}\right\}\)
