Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\frac{x^2-2x+1995}{x^2}\)

Answer 1

Lời giải:

\(A=\frac{x^2-2x+1995}{x^2}\Rightarrow Ax^2=x^2-2x+1995\)

\(\Leftrightarrow x^2(1-A)-2x+1995=0(*)\)

Xét $A\neq 1$. Khi đó $(*)$ là pt bậc 2 ẩn $x$.

Vì biểu thức $A$ tồn tại nên $(*)$ luôn có nghiệm

\(\Rightarrow \Delta'=1-1995(1-A)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow A\geq 1-\frac{1}{1995}=\frac{1994}{1995}\)

\(\frac{1994}{1995}<1\) nên min A\(=\frac{1994}{1995}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=1995\)

Answer 2

Nếu bạn giỏi "mò mẫn" điểm rơi thì có thể sử dụng BĐT Cauchy:

\(\frac{x^2}{1995}+1995\geq 2\sqrt{x^2}=2|x|\geq 2x\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1995=\frac{1994}{1995}x^2+\frac{x^2}{1995}+1995-2x\geq \frac{1994x^2}{1995}+2x-2x=\frac{1994}{1995}x^2\)

Do đó:

\(A=\frac{x^2-2x+1995}{x^2}\geq \frac{\frac{1994}{1995}x^2}{x^2}=\frac{1994}{1995}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{1994}{1995}\Leftrightarrow x=1995\)