Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết:   \(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)           Và x,y là số thực dương thoả mãn x+y=1

Answer 1

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

Áp dụng bđt với x,y > 0 thì: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có : \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\)(1)

Ta lại có \(1^2=\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A\ge4+2=6\)

Dấu = xảy ra <=> x = y = 1/2