Question

Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức và tìm của y,z

A=4y^2-4yz+2z^2-z-1

Answer 1

\(A=4y^2-4yz+2z^2-z-1\)

     \(=4y^2-4yz+z^2+z^2-z+1\)

    \(=\left(2y-z\right)^2+z^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot z+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

     \(=\left(2y-z\right)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì  \(\left(2y-z\right)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2y-z\right)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Vậy \(Min=\frac{3}{4}\) dấu \("="\)xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2y=z\\z=\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)