Question

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có thể):

g, \(G = x^2 + 6x + 4y^2 - 10y + 5\)

h,\(H = -2x^2 - 6x - 3y^2 + 12y - 8\)

i, \(I = \dfrac{6}{x^2-6x+30}\)

Answer 1

g) G =  x² + 6x + 4y² - 10y + 5

G = (x²+ 6x + 9) + 4(y² - 2,5y + 1,5625) - 10,25

G = (x + 3)² + 4(y - 1,25)² - 10,25 \(\ge\)-10,25 với mọi x;y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+3=0\\y-1,25=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1,25\end{cases}}\)
Vậy MinG = -10,25 khi x = -3 và y = 1,25

Answer 2

h) H = -2x² - 6x - 3y² + 12y - 8

H = -2(x² + 3x + 2,25) - 3(y² - 4y + 4)+ 8,5 

H = -2(x + 1,5)² - 3(Y - 2)² + 8,5 \(\le\)8,5 với mọi x;y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+1,5=0\\y-2=0\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=-1,5\\y=2\end{cases}}\)

vậy MaxH = 8,5 khi  x = -1,5 và y = 2

Answer 3

G = x² + 6x + 4y² - 10y + 5

G = ( x² + 6x + 9 ) + ( 4y² - 10y + 25/4 ) - 41/4

G = ( x + 3 )² + ( 2y - 5/2 )² - 41/4

\(\hept{\begin{cases}\left(x+3\right)^2\ge0\forall x\\\left(2y-\frac{5}{2}\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(x+3\right)^2+\left(2y-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{41}{4}\ge-\frac{41}{4}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+3=0\\2y-\frac{5}{2}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=\frac{5}{4}\end{cases}}\)

=> MinG = -41/4 <=> x = -3 ; y = 5/4

H = -2x² - 6x - 3y² + 12y - 8

H = -2( x² + 3x + 9/4 ) - 3( y² - 4y + 4 ) + 17/2

H = -2( x + 3/2 )² - 3( y - 2 )² + 17/2

\(\hept{\begin{cases}-2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\le0\forall x\\-3\left(y-2\right)^2\le0\forall y\end{cases}}\Rightarrow-2\left(x+\frac{3}{2}\right)-3\left(y-2\right)^2+\frac{17}{2}\le\frac{17}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+\frac{3}{2}=0\\y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=2\end{cases}}\)

=> MaxH = 17/2 <=> x = -3/2 ; y = 2

I = \(\frac{6}{x^2-6x+30}\)

Để I đạt GTLN => \(x^2-6x+30\)đạt GTNN

Ta có : x² - 6x + 30 = ( x² - 6x + 9 ) + 21 = ( x - 3 )² + 21 ≥ 21 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 3 = 0 => x = 3

=> MaxI = \(\frac{6}{3^2-6\cdot3+30}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\)

Answer 4

i)  \(I=\frac{6}{x^2-6x+30}=\frac{6}{\left(x-6x+9\right)+21}=\frac{6}{\left(x-3\right)^2+21}\)

Do \(\left(x-3\right)^2+21\ge21\) => \(\frac{6}{\left(x-3\right)^2+21}\le\frac{2}{7}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 3 = 0 <=> x=  3

Vậy MaxI = 2/7 khi x = 3