Question

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

\(M=\frac{2x+1}{x^2+2}\)

Answer 1

\(M=\frac{2x+1+x^2+2-x^2-2}{x^2+2}=\frac{x^2+2-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+2}\)

\(M=\frac{\left(x^2+2\right)-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)

M lớn nhất khi \(\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)nhỏ nhất 

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\) và \(\left(x^2+2\right)\ge0\forall x\)nên \(\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+2}\)nhỏ nhất khi \(\left(x+1\right)^2=0\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x-1=0\)  \(\Leftrightarrow\)\(x=1\)

Vậy \(M_{max}=1\)khi \(x=1\)