Ta có:
\(D=5-x-\frac{1}{x}=5-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
Khi đó, \(D\) sẽ đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow\) \(x+\frac{1}{x}\) nhỏ nhất.
Đặt \(E=x+\frac{1}{x}\) với \(x\ne0\)
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của \(E\) thì ta nghĩ đến ngay một bất đẳng thức rất hữu hiệu, kết hợp với giả thiết đã cho \(x>0\) nên sẽ khả thi nếu ta dùng bất đẳng thức này. Vậy, bài toán được xử đẹp-nhanh-gọn.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số thực \(x\) và \(\frac{1}{x}\) không âm, ta có:
\(E=x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\) với \(x>0\)
Vậy, \(E_{min}=2\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
Do đó, \(D=5-\left(x+\frac{1}{x}\right)\le5-2=3\)
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(x=1\)
Vậy, \(D_{max}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
