Question

Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: \(2^x+1=y^2\)

Answer 1

X là : 3

y là : 3

nhớ và tích đúng cho mình nha

Answer 2

Ta có: \(2^x=y^2-1=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)

Khi đó tồn tại số tự nhiên m; n sao cho: \(y-1=2^m;y+1=2^n\); n \(\ge\)m

=> \(2^n-2^m=2\)

<=> \(2^m\left(2^{n-m}-1\right)=2\)

<=> \(\hept{\begin{cases}2^m=2\\2^{n-m}-1=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}2^m=1\\2^{n-m}-1=2\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m=1\\2^{n-1}=2\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}m=0\\2^{n-0}=3\end{cases}}\)loại

<=> m = 1 và n = 2

=> y = 3 => x = 3 

Thử lại thỏa mãn

Vậy x = 3 và y =3.

Answer 3

ta có 2^x +1 =y² (=) 2^x= (y-1)(y+1) 

y-1=2ⁿ 

y+1=2^m

mà y+1 =y-1 +2 nên y-1 =2 nên y=3 =>tính đượcx =3                                                                                  

Answer 4

Nếu x=0 thì y²=2 (vô lý), nếu x=1 thì y²=3 (loại)

Với x >=2 thì 2^x chẵn nên y²=2^x+1 lẻ hay y lẻ. Ngoài ra

y²=2^x+1 >= 2²+1>2²

Nên y>2 hay y>=3 (do y là số tự nhiên) Đặt y=2k+1 (k\(\in\)N*)

Ta có: 2^x=y²-1=(2k+1)²-1=4k(k+1)

Từ đó suy ra: 2^x-2=k(k+1)

Vì k và k+1 khác tính chẵn lẻ và đều là các lũy thừa của 2 nên 1 trong 2 phải bằng 1

Mà k<k+1 nên k=1 => y=2k+1=3

Từ đó ta tính được x=3

Vậy có duy nhất 1 bộ nghiệm (x;y)=(3;3) thỏa mãn đề bài