Question

Tìm các số tự nhiên k để 

2^k + 2^4 + 2^7 là số chính phương

Answer 1

Với k \(\le4\) => không có k thỏa mãn 

Với k > 4 : P = 2^k + 2⁴ + 2⁷ 

 = 2⁴(2^{k - 4} + 2³ + 1)

= 2⁴(2^{k - 4} + 9)

= 16(2^{k - 4} + 9) 

 P chính phương <=> 2^{k - 4} + 9 chính phương

đặt 2^{k - 4} + 9 = y² (y \(\inℕ\))

<=> 2^{k - 4} = (y - 3)(y + 3)  (*)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y-3=2^m\\y+3=2^n\end{matrix}\right.\left(m;n\inℕ\right)\Leftrightarrow2^n-2^m=6\)

<=> 2^m(2^{n - m} - 1) = 6

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}2^m=2\\2^{n-m}-1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=3\end{matrix}\right.\)

khi đó phương trình (*) <=> k - 4 = m + n 

<=> k - 4 = 1 + 3 

<=> k = 8