Question

Tìm các số thực x, y, z thoả điều kiện :

a)\(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)

b) \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

Answer 1

a) DK: x>=2; y>=3; z>=5

 \(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}\cdot2+4\right)+\left(z-5-2\sqrt{z-5}\cdot3+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)(*)

VT(*) >= 0 với mọi x;y;z TMĐK nên để thỏa mãn (*) thì:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}}\)

b) x;y;z là nghiệm của PT: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\) (1)=> đk: x >=0; y >= 1 ; z >= 2.

Ta có:

 \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Rightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\)(a)Tương tự: \(\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\) (b)và: \(\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}=\frac{z-1}{2}\) (c)Do đó: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+1+y+z-1}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)hay VT(1) <= VP(1) với mọi x;y;z.

Vậy để (1) thỏa mãn thì dấu "=" xảy ra hay các BĐT (a); (b); (c) xảy ra. Khi đó, x = 1; y = 2; z = 3