Đề lạ đời, sao lại tìm các số thực dương a,b,c, đáng lẽ phải là cho các số thực dương a,b,c chứ. Mà đã thực dương rồi sao \(c\ge0\)(c = 0 đâu có nghĩa là c dương)
Mình nghĩ đề đúng phải là: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge a\)(vì sau khi suy nghĩ và viết lại BĐT thì khi ta nhân hai phân số \(\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\frac{c}{a}\ge1\), cũng có thể đấy chứ) . CMR:...
Bất đẳng thức đã cho tương đương với \(\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)^2}+\frac{4}{\left(1+\frac{a}{c}\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y\left(x,y>0\right)\). Khi đó \(\frac{a}{c}=\frac{1}{xy}\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)(*) với x, y là các số dương
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(1-xy\right)^2+xy\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Ta quy bài toán về chứng minh \(\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:\(\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1\ge\frac{4xy}{1+xy}\)
Khi đó \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1-1\ge\frac{1}{xy+1}+\frac{4xy}{1+xy}-1\)\(=\frac{3xy}{1+xy}=\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\)(1)
Từ giả thiết \(c\ge a\)suy ra \(\frac{a}{c}\le1\)hay \(\frac{1}{xy}\le1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\ge\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Đọc tài liệu thầy Công Lợi rồi đào lên gáy làm gì thế em :)
By AM - GM inequalities we have:
\(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{a}{a+b}\)
\(\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{b}{b+c}\)
\(\left(\frac{c}{c+a}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{c}{c+a}\)
So now:
\(LHS\ge\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}\)
Lemma:\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}};xy\ge1\)
Then:\(LHS\ge\frac{2}{1+\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}=\frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}\)
We need prove that:
\(\frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}\ge3\)
Biến đổi tương đương là ra
