\(a^3+3a^2+5=5^b\)
\(\Rightarrow a^2\left(a+3\right)+5=5^b\)
\(\Rightarrow a^2.5^c+5=5^b\)
\(\Rightarrow a^2.5^{c-1}+1=5^{b-1}\) (1)
- TH1: \(b=1\Rightarrow a^2.5^{c-1}+1=1\)
\(\Rightarrow a^2.5^{c-1}=0\) (vô lý do \(a>0;5^{c-1}>0\))
- TH2: \(c=1\)
Từ \(a+3=5^c=5\Rightarrow a=2\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow4+1=5^{b-1}\Rightarrow b-1=1\Rightarrow b=2\)
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}b>1\\c>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5^{b-1}⋮5\\5^{c-1}⋮5\end{matrix}\right.\)
(1) \(\Leftrightarrow5^{b-1}-a^2.5^{c-1}=1\)
Vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 nên ko tồn tại a;b;c thỏa mãn
Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;1\right)\) là bộ số duy nhất thỏa mãn yêu cầu
