Question

Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với phân số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

Trả lời:

gọi phân số cần tìm là a/b (a,b khác 0)

=> số nghịch đão của phân số này là b/a

Giả sử a>=b, đặt a=b+k (k>=0)

Ta có:  \(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{b}{a}\)= \(\frac{b+k}{b}\)+\(\frac{b}{b+k}\)= 1+ \(\frac{k}{b}\)+\(\frac{b}{b+k}\)\(\ge\)1+ \(\frac{k}{b+k}\)+\(\frac{b}{b+k}\)=1+ \(\frac{b+k}{b+k}\)=2 

Ta thấy dấu bằng xảy ra khi k=0 => a=b => phân số cần tìm là a/b=1

Đáp số: phân số cần tìm là có tử số =mẫu số (a=b>0)

và Giá trị nhỏ nhất của phân số này với phân số nghịch đảo của nó=2