Question

Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn : \(x^2+y^2+1=10x+y\)

Answer 1

Nhân cả hai vế với 4 ta sẽ viết phương trình dưới dạng \(4\left(x-5\right)^2+\left(2y-1\right)^2=97.\) Chú ý rằng \(\left(2y-1\right)^2\) là một số chính phương lẻ, nên chia cho 8 dư 1. Mà 96 chia cho 8 dư 1 nên ta suy ra hiệu

\(96-\left(2y-1\right)^2\vdots8\to4\left(x-5\right)^2\vdots8\to\left(x-5\right)\vdots2\to A=4\left(x-5\right)^2\vdots16.\)

Ta thấy \(A\) là một số chính phương chia hết cho 16 và không vượt quá 97, do đó chỉ có hai số là \(16,16\times4=64.\) Tuy nhiên nếu \(A=64\)  thì \(\left(2y-1\right)^2=97-64=33\) không phải số chính phương.

Vậy ta được \(A=16\to\left(x-5\right)^2=4\to x=3,7\).   Khi đó \(\left(2y-1\right)^2=81\to y=5,-4.\)

Vậy ta được bốn cặp nghiệm là \(\left(x,y\right)=\left(3,-4\right),\left(3,5\right),\left(7,-4\right),\left(7,5\right).\) Thử lại thỏa mãn!

Answer 2

tách ra ta có\(\left(x-5\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{97}{4}=4+\frac{81}{4}\)ai thông minh tự lm nốt

Answer 3

PT <=> 4x² + 4y² + 4 = 40x + 4y

<=> (4x² - 40x) + (4y² + 4y) = -4

<=> 4(x² - 10x + 25) + (4y² + 4y + 1) = 101 -4

<=> 4.(x - 5)² + (2y + 1)² = 97

=> 4(x - 5)² < 97 => (x - 5)² < 25 => (x - 5)² = 0; 1; 4; 9; 16

=> (2y +1)² = 97; 93; 81; 61; 33

Vậy (x - 5)² = 4 và (2y +1)² = 81 thỏa mãn => x = 9  hoặc x = 1; 

y = 4 hoặc y = -5

Vậy...